Bilangan kompleks adalah bentuk bilangan yang terdiri dari bagian real dan bagian imajiner. Representasi umum dari bilangan kompleks adalah a + bi di mana a adalah bagian real, b adalah bagian imajiner, dan i adalah satuan imajiner.
Bilangan kompleks yang dituliskan dengan z = a + bi bisa disingkat dengan pasangan terurut (a, b). Sehingga bilangan kompleks juga dapat dituliskan dalam sebuah bidang datar seperti koordinat titik pada sistem koordinat Kartesius. Bidang kompleks atau bidang Argand adalah bidang yang digunakan untuk menggambarkan bilangan kompleks.
Apabila terdapat bilangan kompleks z = 4 + 6i, angka 4 adalah bilangan real positif terletak di kuadran I, sementara 6 adalah bilangan imajiner positif. Seperti halnya koordinat Kartesius, grafik bidang kompleks juga dibagi berdasarkan daerahnya atau kuadrannya:
Bilangan kompleks banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, terutama di bidang teknik dan fisika. Contohnya, dalam fisika modern seperti mekanika kuantum dan dalam bidang pemrosesan sinyal digital.
Bilangan riil adalah sistem bilangan yang biasa digunakan dalam aktivitas sehari-hari, mencakup bilangan rasional dan irasional. Bilangan imajiner adalah bilangan yang nilainya merupakan akar kuadrat dari bilangan negatif. Misalnya, √-1 yang dinotasikan dengan i.
Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bilangan kompleks dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan bagian real dan bagian imajiner secara terpisah.
Contoh:
(3 - 2i) + (4 + 5i)
= (3 + 4) + (-2 + 5)i = 7 + 3i
(3 - 2i) - (4 + 5i)
= (3 - 4) + (-2 - 5)i = -1 - 7i
Operasi perkalian pada bilangan kompleks memiliki sifat distributif seperti pada bilangan real. Contohnya:
(2 - 5i)(1 - 2i) = 2 - 4i - 5i + 10i²
= 2 - 9i - 10 = -8 - 9i
Perkalian bilangan kompleks konjugat menghasilkan bilangan real:
(6 - 8i)(6 + 8i) = 36 - (8i)²
= 36 + 64 = 100
Pembagian bilangan kompleks dilakukan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut agar penyebutnya menjadi bilangan real.
Contoh:
(3 + 2i) / (1 - i)
= (3 + 2i)(1 + i) / (1 - i)(1 + i)
= (3 + 3i + 2i + 2i²) / (1 - i²)
= (3 + 5i - 2) / (1 + 1)
= (1 + 5i) / 2
= 1/2 + 5/2i