detrixCalc

Determinan

Determinan Matriks

1. Pengertian Determinan Matriks

Determinan matriks merupakan suatu nilai yang dihitung dari unsur-unsur matriks persegi. Ingat, hanya matriks persegi yang bisa dihitung determinannya.

2. Rumus Determinan Matriks

Setelah memahami pengertian determinan matriks, kamu pasti penasaran bagaimana rumus untuk menghitung determinan matriks ini. Determinan dari suatu matriks biasanya akan ditulis sebagai `det A`, `det(A)`, atau `det |A|`.

matriks ordo 2x2

Nah, dari matriks tersebut kita akan punya dua diagonal sebagaimana berikut:

  • Diagonal utama: p dan s
  • Diagonal kedua: q dan r

Determinan matriks ordo 2x2 dapat diperoleh dengan cara mengurangkan hasil kali diagonal utama dengan hasil kali diagonal kedua. Kalau dituliskan ke dalam rumus maka akan seperti ini :

matriks ordo 2x2

3. Rumus Determinan Matriks Ordo 3x3

Berbeda dengan matriks ordo 2x2, pada matriks ordo 3x3 ini ada dua rumus yang bisa kamu gunakan untuk mencari nilai determinan pada suatu matriks. Pertama menggunakan aturan Sarrus dan kedua memakai metode minor kofaktor. Apa sih perbedaan keduannya? Yuk kita simak!

Misalkan nih kamu punya matriks Q berordo 3x3 sebagai berikut:

matriks ordo 2x2

Seperti inilah rumus untuk menghitung determinannya menggunakan kedua metode tersebut!

i. Aturan Sarrus

Untuk menggunakan aturan sarrus, kamu harus menambahkan kolom pertama yang berisikan a,d,g dan kolom kedua kedua yang berisikan b,e,h di sebelah matriks utama seperti berikut.

matriks ordo 2x2
matriks ordo 2x2
matriks ordo 2x2

Setelah itu seperti menghitung determinan matrik pada ordo 3x3, kamu tinggal menjumlahkan seluruh perkalian diagonal utama kemudian dikurangkan penjumlahan matriks diagonal kedua seperti rumus berikut:

matriks ordo 2x2

ii. Aturan Minor-Kofaktor

Ada dua elemen yang harus dicari jika akan menggunakan aturan ini, pertama adalah Minor dan yang kedua adalah kofaktor. Untuk mencari nilai Minor maka kamu harus menghilangkan salah satu baris atau kolom terlebih dahulu. Misalnya nih kamu ingin menghilangkan baris nomor satu yang berisi a, b, dan c. Maka kamu akan memperoleh 3 minor dari matriks tersebut sebagaimana berikut: Q11 yang berarti Minor kesatu atau M11 diperoleh dengan menghilangkan elemen di baris ke-1 dan kolom ke-1.

matriks ordo 2x2

Q12 yang berarti Minor kesatu atau M12 diperoleh dengan menghilangkan elemen di baris ke-1 dan kolom ke-2.

matriks ordo 2x2

Q13 yang berarti Minor kesatu atau M13 diperoleh dengan menghilangkan elemen di baris ke-1 dan kolom ke-3.

matriks ordo 2x2

Selanjutnya kamu harus mencari nilai kofaktor yang biasanya dilambangkan dengan C atau K. Nilai ini bisa kamu dapatkan dengan rumus:

matriks ordo 2x2

Maka dari rumus tersebut kita akan dapat tiga kofaktor sebagai berikut:

matriks ordo 2x2

Setelah Minor dan Kofaktornya ketemu, maka kamu bisa menghitung nilai determinannya dengan rumus berikut:

matriks ordo 2x2

Bagaimana, sudah paham sampai disini? Biar makin paham, nanti kita akan berikan contoh soal di bawah ya!

3. Sifat Determinan Matriks

Sebelum membahas contoh soal, penting untuk memahami sifat-sifat dari determinan matriks. Jika X dan Y merupakan matriks berordo nxn, maka sifat determinan matriks dapat dirangkum sebagai berikut:

  • |XY| = |X| * |Y|
  • |XT| = |X|, di mana T adalah transpose matriks
  • |kX| = k^n * |X|, di mana k adalah bilangan skalar/riil dan n adalah ordo matriks A
  • |X^-1| = 1 / |X| (invers matriks)
  • Jika ada baris atau kolom yang semua elemennya bernilai nol, maka determinan matriksnya adalah 0
  • Jika ada dua baris atau kolom yang elemennya sama ataupun merupakan kelipatannya, maka determinan matriksnya juga adalah 0